XYZ表色系

　RGB表色系を用いれば色を三刺激値で表現できます。しかしながらこの表色系には
欠点があり、特に次の2点が問題になります。
　１．負の三刺激値がある。
　２．輝度を表現する場合、以下の式で変換する必要がある。
　　　　　Lc = R + 4.5907G + 0.0601B　　　　　　　　　　・・・RGB表色系の(2.4)　

　これらの点を解決するためにXYZ表色系が制定されました。

　１．の問題を解決するために、図のスペクトル軌跡をすべて含む３角形の頂点に色度
座標を持つような原刺激(X)(Y)(Z)を用いました。しかしこのような色刺激は実際には
存在しないため虚色と呼ばれます。

　２．の問題についてはRGB表色系の式(2.4)のLc=0、つまり
　　　　　R + 4.5907G + 0.0601B = 0　　　　　　　　　　・・・(3.1)
を考えます。

　　　　　　　　図-3.1　RGB表色系の単位面と無輝面との位置関係
　　　　　　　　　　　（池田光男　色彩工学の基礎　朝倉書店(1980))

　　これは原点を通る平面の式で、Lc=0で輝度が0ですので、無輝面と呼ばれます。
　　無輝面と単位面の交線はアリクネ(alycne)と呼ばれ、2次元の色度図上にも直線
　として表示されます。輝度がゼロの直線なので、無輝線です。
　　式(3.1)に R+G+B=1を代入し、Rをr、Gをgと書き換えて整理すると
　　　0.9399r + 4.5306g + 0.0601 = 0　　　　　　　　　　・・・(3.2)
　が得られます。これが無輝線の式です。

　　原刺激(X)(Y)(Z)のうち(X)と(Z)を無輝面上にとることにより、それらの原刺激の
　輝度は0になります。明度係数をlx、ly、lzとすれば色光Cの輝度Lcは
　　　Lc = lxX + lyY + lzZ　　　　　　　　　　　　　　　・・・(3.3)
　となるため、
　XYZ表色系での輝度は
　　　Lc = lyY　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(3.4)
　となります。三刺激値のうちYだけを知れば輝度が求められることになります。

　　式(3.3)は、以下のRGB表色系の式(2.4)に相当するものであり、
　　　Lc = lrR + lgG + lbB　　　　　　　　　　　　　　　・・・(2.4)
　X、Y、ZはXYZ座標系で色光Cを表した時の三刺激値です。
　　　C(C) ≡ X(X) + Y(Y) + Z(Z)　　　　　　　　　　　　・・・(3.5)
　が成立します。また、XYZ表色系の等色関数を
　　　
　とすると、以下のRGB表色系の式(2.18)
　　　　　　　　・・・(2.18)
　に対応して
　　　　　　　　・・・(3.6)
　が成立し、lx = 0、 ly = 0ですので、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(3.7)
　となり、XYZ表色系の等色関数のうち、
　　　
　は標準分光視感効率（比視感度）と一致します。

　　　このようにしてXYZ表色系の原刺激が定められました。これを図-(3.2)と式(3.8)に
　示します。

　　　図-3.2　RGB表色系のRG色度図上のXYZ表色系の原刺激X、Y、Zの位置
　　　　　　　（池田光男　色彩工学の基礎　朝倉書店(1980))

　　　XとZは式(3.2)で示されるアリクネの上にとり、XとYを結ぶ線は700[nm]～560[nm]
　　のスペクトル軌跡を延長してできる直線上にあります。YとZを結ぶ線は504[nm]の波長の
　　ところでスペクトル軌跡にほぼ接するように決まりました。

　　　　　　図-3.3　RGB表色系三次元色度座標と等エネルギースペクトル
　　　　　　　　　　（池田光男　色彩工学の基礎　朝倉書店(1980))
　　　　　　　　　　矢印は等エネルギースペクトル（長さは実際の2倍で表示）
　　　　　　　　　　　（矢印の先端の座標は等色関数の座標）
　　　　　　　　　　Weは等エネルギー白色
　　　　　　　　　　黒点を結ぶ曲線は色度図におけるスペクトル軌跡

　　XYZ表色系の原刺激の(r,g,b)色度座標は以下の通りです。
　　　X(1.2750, -0,2778, 0.0028)
　　　Y(-1.7392, 2.7671, -0.0279)　　　　　　　　　　　・・・(3.8)
　　　Z(-0.7431, 0.1409, 1.6022)

RGB表色系からXYZ表色系への変換

　ある色光CはRGB表色系の三刺激値R、G、Bによって表されます。
　　C(C) ≡ R(R) + G(G) + B(B)　　　　　　　　　　　　・・・(3.9)
　また、式(3.5)より
　　C(C) ≡ X(X) + Y(Y) + Z(Z)　　　　　　　　　　　　・・・(3.5)
　であるので、色光Cの三刺激値R、G、Bが与えられたとき、X、Y、Zについて
次の式が成り立ちます。
　　X = XrR + XgG + XbB　　　　　　　　　　　　　　
　　Y = YrR + YgG + YbB　　　　　　　　　　　　　　　・・・(3.10)
　　Z = ZrR + ZgG + ZbB　　　　　　　　　　　　　　　

　式(3.10)の係数Xr～Zbの9個の係数を求めれば変換ができます。
　色光CがX軸と一致するときは、Y = Z = 0であるので、この時のR、G、Bの値
は式(3.8)のXの座標で与えられています。従って、
　　1.2750Yr – 0.2778Yg + 0.0028Yb = 0　　　　　　　　・・・(3.11)
　　1.2750Zr – 0.2778Zg + 0.0028Zb = 0　　　　　　　　
となります。同様にCがY軸と一致するときとZ軸と一致するときは
　　-1.7392Xr + 2.7671Xg – 0.0279Xb = 0　　　　　　　　
　　-1.7392Zr + 2.7671Zg – 0.0279Zb = 0　　　　　　　　・・・(3.12)
　　-0.7431Xr + 0.1409Xg +1.6022Xb = 0　　　　　　　　
　　-0.7431Yr + 0.1409Yg +1.6022Yb = 0　　　　　　　　
です。

　次の条件としてCが等エネルギー白色の場合、R=G=B、X=Y=Zですので、
　　Xr + Xg + Xb = Yr + Yg + Yb = Zr + Zg + Zb　　　　　　　　　・・・(3.13)
が成立します。さらにYを輝度と一致させるため、下記式(2.4)
　　Lc = R + 4.5907G + 0.0601B　　　　　　　　　　・・・RGB表色系の(2.4)　
の明度係数の関係から、
　　Yr + Yg + Yb = lr + lg + lb = 1 + 4.5907 + 0.0601 = 5.6508　　・・・(3.14)
となります。式(3.11)、式(3.12)、式3.13)、式(3.14)より、
　　Xr = 2.7689,　　Xg = 1.7517,　　Xb = 1.1302
　　Yr = 1.0000,　　Yg = 4.5907,　　Yb = 0.0601　　　　　　　　・・・(3.15)
　　Zr = 0.0000,　　Zg = 0.0565,　　Zb = 5.5943
が得られます。これらを式(3.10)に代入すると
　　X = 2.7689R + 1.7517G + 1.1302B　　　　　　　
　　Y = 1.0000R + 4.5907G + 0.0601B　　　　　　　　　　　　　・・・(3.16)
　　Z = 0.0000R + 0.0565G + 5.5943B　
となります。　　　　
　これから色度座標x、y、zを求めるには、以下の式(3.17)に式(3.16)を代入して
　　x = X / (X + Y + Z)
　　y = Y / (X + Y + Z)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(3.17)
　　z = Z / (X + Y + Z)
以下の式が得られます。
　　x = (2.7689R + 1.7517G + 1.1302B) / (3.7689R + 6.3989G + 6.7846B)
　　y = (1.0000R + 4.5907G + 0.0601B) / (3.7689R + 6.3989G + 6.7846B)　・・・(3.18)
　　z = (0.0000R + 0.0565G + 5.5943B) / (3.7689R + 6.3989G + 6.7846B)
　ここで、RGBの色度座標の式　
　　r = R / (R + G + B)　
　　g = G / (R + G + B)　　　　　　　　　　　　　　　・・・(3.19)　
　　b = B / (R + G + B)　
　を、以下のように変形して
　　R = r(R + G + B)
　　G = g(R + G + B)　　　　　　　　　　　　　　　　・・・(3.20)
　　B = b(R + G + B)
とし、式(3.18)に代入して最終的に
　　x = (2.7689r + 1.7517g + 1.1302b) / (3.7689r + 6.3989g + 6.7846b)
　　y = (1.0000r + 4.5907g + 0.0601b) / (3.7689r + 6.3989g + 6.7846b)　・・・(3.29)
　　z = (0.0000r + 0.0565g + 5.5943b) / (3.7689r + 6.3989g+ 6.7846b)
が得られます。

　これにRGB表色系の色度座標を代入してXYZ表色系の色度座標x(λ)、y(λ)、z(λ)
を求めると以下の表のようになります。